Решение ТОЭ онлайн
Техника высоких напряжений ТВН
Электротехника, основы электроники
Электрические измерения, электрические материалы

 
» » К заряженному конденсатору подключается незаряженный конденсатор
на правах рекламы

К заряженному конденсатору подключается незаряженный конденсатор

К заряженному конденсатору подключается незаряженный конденсатор

К заряженному до напряжения U0 конденсатору с емкостью C1 подключается незаряженный конденсатор с емкостью C2.

Найти зависимость тока в цепи от времени (рис. 1), если сопротивление проводов, соединяющих обкладки конденсаторов, равно R. Какое количество тепла выделится в проводах в результате прохождения тока?

Анализ задачи

После коммутации заряженный конденсатор C1 разряжается на незаряженный конденсатор C2. В цепи возникает переходной процесс. При этом по проводам цепи R протекает электрический ток. После окончания переходного процесса напряжение на конденсаторах выравнивается u1 = u2, а ток в цепи прекращается. Количество тепла, выделившееся в проводах в результате прохождения тока, можно найти по закону Джоуля-Ленца. Иначе количество тепла, выделившееся в проводах в результате прохождения тока, можно также найти как разность энергий системы до и после коммутации.

Схема перезарядки конденсаторов

Рис. 1 Схема перезарядки конденсаторов

Решение

Расчет переходного процесса в цепи

Напряжение на конденсаторах до коммутации (t = 0–)

u1(0–) = U0; u2(0–) = 0.

Независимое начальное условие – напряжение на конденсаторе – по закону коммутации

u1(0+) = u1(0–) = U0; u2(0+) = u2(0–) = 0. (1)

Схема цепи после коммутации

Рис. 2 Схема цепи после коммутации

Для цепи после коммутации (рис. 2) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа

u2(t) + i(tRu1(t) = 0. (2)

Зависимое начальное условие для тока перезарядки конденсаторов из (2) и (1)

i(0+) = [u1(0+) – u2(0+)]/R = U0/R. (3)

Напряжение на конденсаторе дается выражением

Для конденсатора C2 (согласованное направление тока и напряжения)

Для конденсатора C1 (несогласованное направление тока и напряжения)

Подставим полученные выражения в (2)

и продифференцируем

Получаем линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение цепи для тока

Характеристическое уравнение

имеет корень характеристического уравнения

корень характеристического уравнения

Свободная составляющая решения для переходного тока

Свободная составляющая решения для переходного тока

где A – постоянная интегрирования.

Принужденная составляющая тока при установившемся режиме после коммутации равна нулю (при установившемся режиме напряжение на конденсаторах постоянно и ток равен нулю).

Решение (4) есть сумма свободной и принужденной составляющих

Решение переходного тока есть сумма свободной и принужденной составляющих

где постоянную интегрирования находим из начального условия (3) при t = 0+

i(0+) = e0,

A = i(0+) = U0/R.

Получаем переходной ток перезарядки конденсаторов

ток перезарядки конденсаторов

Количество тепла, выделившееся в проводах в результате прохождения тока

По закону Джоуля-Ленца количество тепла, выделившееся в активном сопротивлении, при прохождении по нему тока

Количество тепла, выделившееся в проводах в результате прохождения тока, найденное по закону Джоуля-Ленца,

Количество тепла, выделившееся в проводах в результате прохождения тока, найденное по закону Джоуля-Ленца

Определим количество тепла, выделившееся в проводах в результате прохождения тока как разность энергий системы до и после коммутации

Q = W – W'.

По закону сохранения заряда сумма зарядов двух конденсаторов до коммутации равна сумме зарядов этих же конденсаторов после коммутации

q1 + q2 = q'1 + q'2.

Так как после коммутации ток равен нулю, то из (2)

U'2U'1 = 0.

Используя формулу конденсатора

q = U

и выражения для напряжений до коммутации (1) получим следующую систему для зарядов после коммутации

q'1 + q'2 = C1·U0;

q'1/C1q'2/C2 = 0.

Решение для зарядов после коммутации

Энергия системы конденсаторов до коммутации

и после коммутации

Количество тепла, выделившееся в проводах в результате прохождения тока как разность энергий системы до и после коммутации

Количество тепла, выделившееся в проводах в результате прохождения тока как разность энергий системы до и после коммутации

Что совпадает с формулой количества тепла по закону Джоуля-Ленца.

Интересно заметить, что количество тепла не зависит от величины сопротивления проводов.


Теги: переходной процесс, закон Джоуля-Ленца, закон сохранения заряда

Комментарии:

Оставить комментарий